পৃথিবীর অভিকর্ষজ ত্বরণ কত হলে এটি একটি কৃষ্ণ বস্তুর ন্যায় আচরণ করত?

একটি বস্তুকে কৃষ্ণ বস্তুতে (black hole) পরিণত হতে হলে তার পৃষ্ঠ থেকে মুক্তিবেগ (escape velocity) আলোর গতির (speed of light) সমান বা তার বেশি হতে হবে।

মুক্তিবেগের সূত্র হলো:

\(v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}\)

যেখানে,

    
• \(v_e\) = মুক্তিবেগ
    
• \(G\) = মহাকর্ষীয় ধ্রুবক (gravitational constant)
    
• \(M\) = বস্তুর ভর (mass of the object)
    
• \(R\) = বস্তুর ব্যাসার্ধ (radius of the object)

কৃষ্ণ বস্তুর ক্ষেত্রে, \(v_e = c\) (আলোর গতি)।
অতএব, \(c = \sqrt{\frac{2GM}{R}}\)

উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই:

\(c^2 = \frac{2GM}{R}\)

এখান থেকে আমরা \(GM\) এর মান বের করতে পারি:

\(GM = \frac{c^2R}{2}\)

এখন, অভিকর্ষজ ত্বরণের (gravitational acceleration) সূত্র হলো:

\(g = \frac{GM}{R^2}\)

\(GM\) এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই:

\(g = \frac{\frac{c^2R}{2}}{R^2}\)

\(g = \frac{c^2R}{2R^2}\)

\(g = \frac{c^2}{2R}\)

এখন আমরা পৃথিবীর জন্য প্রয়োজনীয় অভিকর্ষজ ত্বরণ গণনা করব:

    
• আলোর গতি, \(c \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s}\)
    
• পৃথিবীর গড় ব্যাসার্ধ, \(R \approx 6.37 \times 10^6 \text{ m}\)

\(g = \frac{(3 \times 10^8 \text{ m/s})^2}{2 \times (6.37 \times 10^6 \text{ m})}\)

\(g = \frac{9 \times 10^{16} \text{ m}^2/\text{s}^2}{12.74 \times 10^6 \text{ m}}\)

\(g = \frac{9}{12.74} \times 10^{16-6} \text{ m/s}^2\)

\(g \approx 0.7064 \times 10^{10} \text{ m/s}^2\)

\(g \approx 7.064 \times 10^9 \text{ m/s}^2\)

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে, \(7.03 \times 10^9 \text{ m/s}^2\) এই মানের সবচেয়ে কাছাকাছি।